Kontakt
Themen- Sie sind hier:
-
Lehrplannavigator S I
Gesamtschule
Mathematik
Mathematik KLP
Aufgaben(typen)
4 Muster- und Modellaufgaben
Die folgenden Muster- und Modellaufgaben veranschaulichen und konkretisieren die in Kapitel 3 ausgeführten Kompetenzerwartungen durch Aufgabenbeispiele für die Jahrgangsstufen, an denen sich Art, Höhe und Umfang der Kompetenzerwartungen ablesen lassen.
Für den Mathematikunterricht stellen die Muster- und Modellaufgaben insbesondere Beispielprobleme dar, die Schülerinnen und Schüler auf der Grundlage der am Ende der jeweiligen Jahrgangsstufe erworbenen Kompetenzen lösen können. Die Aufgaben zeigen an komplexen und offenen Ausgangssituationen auf, wie Schülerinnen und Schüler über unterschiedliche prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen verfügen und diese kombinieren müssen, um in inner- und außermathematischen Situationen mathematikbezogene Fragen zu lösen, zu reflektieren und zu bewerten.
Diese Aufgaben können im Unterricht eingesetzt werden, um im Laufe der jeweiligen Jahrgangsstufen Lerngelegenheiten zu bieten, anregende Fragen aufzuwerfen oder um neue Begriffe und Verfahren zu erarbeiten. Am Ende der jeweiligen Jahrgangsstufe (oder später) können sie dazu dienen, festzustellen, ob und auf welchem Niveau Schülerinnen und Schüler die jeweiligen Aufgaben zugeordneten Kompetenzerwartungen erfüllen. Zu diesem Zweck decken die Aufgaben jeweils ein breites Spektrum über alle Kompetenzbereiche hinweg ab.
4.1 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 6
Aufgabe 1 – Würfelspiel
Ein Spiel mit einem Würfel hat folgende Regel:
Man darf so lange mit einem Würfel würfeln, bis eine Zahl zum zweiten Mal erscheint, also z.B. 1 – 3 – 4 – 3 – Stopp! Man darf sich dann so viele Punkte aufschreiben, wie man Würfe geschafft hat, in diesem Beispiel also vier Punkte. Führt das Spiel viele Male durch.
a) Es liegt folgender Spielverlauf vor: 2 – 1 – 5. Bei welcher Zahl wäre das Spiel mit dem nächsten Wurf beendet?
b) Wie viele Punkte kannst du mindestens oder höchstens in einem Spiel erreichen?
c) Wie viele verschiedene Spielverläufe gibt es, bei denen du drei Punkte bekommst?
d) Du willst wissen, wie viele Punkte du im Durchschnitt in einem Spiel erhältst. Wie würdest du vorgehen?
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe
Bei dieser Aufgabe geht es nicht um den Wahrscheinlichkeitsbegriff (obwohl grundlegende Einsichten vorbereitet werden), sondern um das Erheben von Daten, das systematische Zählen und das Argumentieren. Schülerinnen und Schüler müssen bei diesem Problem die Gelegenheit haben, das Spiel konkret durchzuführen und eine Reihe von Spielverläufen aufzuzeichnen. Der Übergang von einer Teilaufgabe zur nächsten wird – je nach Lerngruppe – nach unterschiedlicher Spieldauer erfolgen.
a) Die Schülerinnen und Schüler sichern ihre Kenntnisse der Spielregeln.
b) Die Schülerinnen und Schüler entwickeln auf der Grundlage von Beispielen Einsichten in das Problem und argumentieren, um ihre Aussagen zu stützen.
c) Die Schülerinnen und Schüler beginnen mit einer Sammlung von Spielverläufen und entwickeln dabei systematische Verfahren des Abzählens.
d) Die Schülerinnen und Schüler nutzen bei diesem Problem die ersten grundlegenden Begriffe und Verfahren der beschreibenden Stochastik.
Variation der Aufgabenstellung
Vereinfachung der Aufgabe: Durch eine Änderung der Spielregeln kann die Aufgabenstellung vereinfacht werden: Das Spiel ist beendet, wenn die erste Zahl nochmals gewürfelt wird.
Fortführung der Aufgabe: Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, eigene weitere Spielregeln aufzustellen, teilen diese Spielregeln der Klasse mit, spielen nach den neuen Regeln und formulieren weitere Aufgaben.
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Arithmetik/ Algebra |
|
| Stochastik |
|
Aufgabe 2 - Entfernungen
Eine Schulklasse macht einen Ausflug mit dem Zug nach Bielefeld. Sie will den Tierpark Olderdissen besuchen.
a) Bestimme anhand des Stadtplans von Bielefeld die Entfernung (Luftlinie) zwischen dem Hauptbahnhof (S35) und dem Parkplatz am Tierpark Olderdissen (S33).
b) Franz kennt sich in Bielefeld nicht aus. Beschreibe einen einfach zu erklärenden Fußweg und bestimme dessen Länge.
c) Sarah behauptet: "Ich kenne einen Weg, der nur 2,9 km lang ist."
Hinweis: Die nebenstehende Grafik ist hier zu Dokumentationszwecken verkleinert dargestellt, der angegebene Maßstab ist in dieser Abbildung nicht korrekt. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit einem Plan ihres Schulorts. Die Angaben der Aufgabenstellungen sind entsprechend zu formulieren.
Quelle: ADAC Städteatlas NRW, 95/96
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe
a) Die Schülerinnen und Schüler finden die Orte in der Karte und berechnen deren Abstand mit Hilfe der Maßstabsangabe.
b) Die Schülerinnen und Schüler ermitteln in der Karte einen einfachen Weg und nutzen Verfahren zur Bestimmung der Weglänge, z.B. Messen und Addieren von Streckenlängen, Anlegen eines Fadens, Auslegen mit festen Maßlängen (Hölzchen etc.), Benutzen eines Zirkels.
c) Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die Aussage, indem sie möglichst kurze Wege suchen, deren Länge ermitteln und vergleichen und die Wahl ihres Weges begründen.
Die Teilaufgaben a) - c) haben steigendes Anspruchsniveau und können auch unabhängig voneinander bearbeitet werden.
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Modellbildung |
|
| Werkzeug |
|
| Arithmetik/Algebra |
|
| Funktionen |
|
| Geometrie |
|
4.2 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 8
Aufgabe 1 – Aufteilung von Urlaubskosten
Die Familien Meier und Müller haben im August 2003 ihren 14-tägigen Urlaub gemeinsam in einer Ferienwohnung an der Ostsee verbracht. Familie Meier besteht aus zwei Erwachsenen und einem Sohn, Familie Müller besteht aus dem allein erziehenden Herrn Müller und seiner Tochter. Beide Kinder sind 10 Jahre alt. Für Verpflegung und gemeinsame Ausflugsfahrten im PKW der Familie Meier sind 960 Euro angefallen. Herr Meier schlägt vor, dass jede Familie die Hälfte der Gesamtkosten bezahlen soll. Herr Müller findet diesen Vorschlag nicht gerecht.
a) Welche Argumente könnten Herr Meier und Herr Müller für ihre unterschiedlichen Standpunkte vorbringen?
b) (Fassung für den E-Kurs)
Welche Aufteilung könnte Herr Müller vorschlagen? Überlegt euch mindestens einen weiteren Vorschlag. Berechnet für jeden der Vorschläge die Kosten für jede Familie.
b) (Fassung für den G-Kurs)
Welche Aufteilung könnte Herr Müller vorschlagen? Berechnet die Kosten für jede Familie.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Die Aufgabe eignet sich insbesondere für Gruppenarbeit. Durch Ergänzungen in der Aufgabenformulierung kann die Form der Präsentation der Ergebnisse (u. a. ist ein Rollenspiel denkbar) variiert werden, so dass auch weitere Kompetenzen erfassbar sind. Diese auf einem realen Kontext basierende Aufgabe lässt vielfältige Lösungswege (Dreisatz, Brüche,...) zu. Je nach gewähltem Lösungsweg werden daher die folgenden Kompetenzen angesprochen. Zusätzliche Kompetenzen für den Erweiterungskurs werden im Folgenden kursiv-fett gedruckt.
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Modellieren |
|
| Arithmetik/Algebra |
|
| Funktionen |
|
Aufgabe 2 – Diagonalen im regelmäßigen Neuneck
Die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte eines Vielecks wird Diagonale genannt.
Die folgende Figur zeigt ein regelmäßiges Neuneck mit sämtlichen Diagonalen:
Lehrer Lämpel hat in seiner Klasse die Aufgabe gestellt, die Diagonalenanzahl zu bestimmen. Er hat pfiffige Schülerinnen und Schüler. Er findet in ihren Heften folgende Eintragungen:
Anna: 8 7 6 5 4 3 2 1 – 9 = 27
Birgit: 6 6 5 4 3 2 1 = 27
Hans: 6 x 9 : 2 = 27
Alle drei haben die Aufgabe richtig gelöst, aber leider keine Erläuterungen zu ihren Rechnungen angegeben.
Gib zu mindestens einer der von Anna, Birgit und Hans aufgeschriebenen Lösungen eine ausführliche Begründung an.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Das Verfahren des Anzählens führt zur Frage, wie dies Verfahren systematisiert werden kann und damit zu den von Anna, Birgit und Hans angegebenen Lösungen. Die verschiedenen Lösungsstrategien sollen von den Schülerinnen und Schülern nachvollzogen und begründet werden.
Die Schülerinnen und Schüler können aufgefordert werden, Aufgaben selbst zu finden, die mit ähnlicher Strategie gelöst werden können, z.B. wie viele Spiele werden in der Hinrunde der Fußball-Bundesliga ausgetragen?
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Arithmetik/Algebra |
|
Aufgabe 3 – Auch Kopieren will gelernt sein
Jonas hat ein Rechteck der Länge 10 cm und der Breite 4 cm auf ein DIN-A4-Blatt gezeichnet. Anschließend fertigt er von diesem Blatt eine vergrößerte Kopie (Einstellung des Kopierers 125%) an. Er misst die Länge und Breite nach – alles wie erwartet!
a) Wie lang sind die Seitenlängen auf der vergrößerten Kopie?
Berechne und überprüfe dein Ergebnis am Kopierer.
Kathrin macht Jonas ein Angebot: "Wenn du dein vergrößertes Rechteck mit dem Kopierer wieder auf die ursprüngliche Größe bringen kannst, lade ich dich zum Eis ein." Nach einigen vergeudeten Kopien hat es Jonas noch nicht geschafft. Kann ihm die Mathematik weiterhelfen?
b) Wie muss Jonas den Kopierer einstellen, um die Vergrößerung wieder in die Originalgröße (Länge 10 cm, Breite 4 cm) zu bekommen? Formuliere und begründe zunächst deine Vermutung.
c) Überprüfe deine Vermutung durch eine Rechnung. Probiere am Kopierer aus, ob deine berechnete Prozentzahl für die Verkleinerung zum Erfolg führt.
d) Beschreibe mit eigenen Worten, warum sich die Ergebnisse möglicherweise unterscheiden.
Aus: A. Lergenmüller, G. Schmidt (Hrsg.), Mathematik - Neue Wege, Arbeitsbuch für Gymnasien, 7. Schuljahr, Bildungshaus Schulbuchverlage Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, www.schroedel.de, Braunschweig 2005, S. 72.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Bei dieser Aufgabe geht es um eine Veränderung des Grundwertes. Den Schülerinnen und Schülern muss deutlich werden, dass eine Erhöhung um x Prozent nicht durch eine Verminderung um x Prozent ausgeglichen werden kann. Sie haben bei diesem Beispiel Gelegenheit, ihre Vermutungen und Berechnungen handelnd am Kopierer überprüfen zu können:
a) Die Seitenlängen der Vergrößerung werden berechnet. Durch Anfertigen einer vergrößerten Kopie können die berechneten Werte empirisch überprüft werden. Die Vergrößerung des Rechtecks kann auf Folie der Klasse zur Verfügung gestellt oder von den Schülerinnen und Schülern selbst erstellt werden.
b) Vermutungen und Begründungen sollten im Unterricht gesammelt werde. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln in dieser Unterrichtsphase Einsicht in das Problem und argumentieren intuitiv, um ihre Aussagen zu belegen.
c) Als mögliche Hilfestellung und als Lösungsansatz für die Schülerinnen und Schüler bietet sich der Vergleich der Seitenlängen aus Original und Vergrößerung an. Durch Erstellen einer verkleinerten Kopie auf einem Kopierer sollte das berechnete Ergebnis empirisch überprüft werden.
d) Die Schülerinnen und Schüler können darüber reflektieren, warum Jonas zunächst eine nicht maßstäbliche Verkleinerung erstellt hat, d. h., wie eine spontan gefundene Lösung aussehen könnte. Der Vergleich mit der richtigen Lösung bei der Aufgabe gibt Anlass über die Bedeutung des Grundwertes und seiner Veränderung bei dieser und auch bei anderen Aufgaben zu diskutieren.
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Arithmetik/Algebra |
|
| Funktionen |
|
4.3 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 10
Aufgabe 1 – Immer weniger Menschen in Deutschland!
Jedes Jahr nimmt die Gesamtzahl der in Deutschland lebenden Menschen ab. Lebten 1990 noch etwa 83 Millionen Menschen in Deutschland, so waren es im Jahre 2000 nur noch 80,5 Millionen Menschen.
1. Zur Prognose der Einwohnerzahl Deutschlands im Jahre 2100 überlegen sich Harri und Betti folgende Lösungsansätze:
| 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 | 2040 | 2050 | 2060 | 2070 | 2080 | 2090 | 2100 |
| 83,0 | 80,5 | 78,0 | 75,5 | 73,0 |
| 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 | 2040 | 2050 | 2060 | 2070 | 2080 | 2090 | 2100 |
| 83,0 | 80,5 | 78,1 | 75,7 | 71,2 |
a) Zu welcher Lösung werden Harri und Betti gelangen?
b) Erläutere den Unterschied zwischen Harris und Bettis Lösungsansätzen. Welche der beiden Lösungen erscheint dir realistischer? Auf welche Bevölkerungszahlen kommen Harri und Betti für das Jahr 2400?
Ergänzende Aufgaben für den E-Kurs
2. Stelle die Ansätze von Harri und Betti durch Funktionsterme dar und zeichne die zugehörigen Grafen.
3. Zu welchen Antworten gelangen Harri bzw. Betti bei den folgenden Fragen?
a) Wann werden nur noch 50 Millionen Menschen in Deutschland leben?
b) Wann werden nur noch halb so viele Menschen wie 1990 in Deutschland leben?
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Bei dieser Aufgabe geht es um die Frage der realistischen Anwendung linearer oder exponentieller Modelle. Die Bearbeitung von Aufgabenteil 1 erfordert, dass die Schüler und Schülerinnen die Grundeigenschaften linearen Wachstums (gleicher Summand bei gleicher Zeitspanne) bzw. exponentiellen Wachstums (gleicher Faktor bei gleicher Zeitspanne) gegeneinander abgrenzen.
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Modellieren |
|
| Werkzeuge |
|
| Funktionen |
|
Aufgabe 2 – Body-Mass-Index
Im Heft 12/2002 der Stiftung Warentest finden sich folgende Informationen zum BMI:
a) i) Bestimme den BMI einer 1,90 m großen Person mit einem Körpergewicht von 80 kg.
ii) In welchem Bereich sollte das Körpergewicht einer 1,83 m großen Person liegen.
b) Till Eugenspiegel hat in dem obigen Artikel einen Fehler entdeckt. Wie immer sitzt ihm der Schalk im Nacken, und er schreibt folgenden Brief an die Stiftung Warentest:
"Liebe Stiftung Warentest,
ich bin 1,85 m groß und wiege 70 kg. Nach Ihrer Formel habe ich einen BMI von 38 kg/m2. Ich habe aber nicht das Gefühl, dass ich an Fettsucht leide. Mit der Bitte um Erklärung verbleibe ich mit freundlichen Grüßen."
Schreibe im Auftrag der Stiftung Warentest einen kurzen Antwortbrief an Till.
Folgende Aufgabenteile c)-e) gelten für den E-Kurs
c) In welchem Bereich sollte das Körpergewicht eines 60 cm großen Säuglings liegen? Vergleiche dein Ergebnis mit den Informationen des nebenstehenden Somatogramms, das in jedem Kinder-Untersuchungsheft – auch in deinem! – zu finden ist. Beurteile aufgrund deines Vergleichs die Gültigkeit der im obigen Zeitungsartikel aufgestellten Regeln
d) Vor der Einführung des BMI gab es folgende Regeln:
Das Normalgewicht (in kg) einer Person entspricht der um 100 verminderten Körpergröße (in cm). Das Idealgewicht beträgt 90 % des Normalgewichts.
Welches Idealgewicht ergibt sich daraus für eine 1,83 m große Person?
(Hinweis: Die Grafik ist zu Dokumentationszwecken nur verkleinert dargestellt.)
e) In einem Artikel des Mindener Tageblatts vom 8.2.2003 findet sich folgender Satz:
"Als fettsüchtig gelten Kinder, deren Gewicht etwa 20 Prozent über dem Altersgruppendurchschnitt liegt."
Philipp Pfiffig meint dazu: "Wenn sich alle Kinder einig wären, könnten sie nach Herzenslust schlemmen, und trotzdem gäbe es keine fettsüchtigen Kinder."
Was meinst du dazu?
Folgender Aufgabenteil gilt für den G-Kurs
c)i)Vor der Einführung des BMI gab es folgende Regeln:
Das Normalgewicht (in kg) einer Person entspricht der um 100 verminderten Körpergröße (in cm). Das Idealgewicht beträgt 90 % des Normalgewichts.
Welches Idealgewicht ergibt sich daraus für eine 1,83 m große Person?
ii) Zu welchem Normalgewicht würde die in i) aufgestellte Regel bei einem 60 cm großen Säugling führen? Beurteile aufgrund deines Ergebnisses die Gültigkeit der Regel zur Ermittlung des Normalgewichts.
Hinweis zum Einsatz der Aufgabe:
Die Aufgabe erfordert gegebenenfalls ein zusätzliches Eingehen auf die Problematik ungeeigneter Ernährung oder falscher Einschätzung des eigenen Gewichtes.
Die im Aufgabenteil c) erforderlichen Überlegungen zum Geltungsbereich der Modellierung sind bei der Grundkurs-Variante aufgrund des absurden Ergebnisses (negative Normalgewicht) nicht schwierig. Bei der E-Kurs-Variante müssen zusätzliche Informationen aus einer recht komplexen grafischen Darstellung gewonnen werden
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Modellieren |
|
| Arithmetik/Algebra |
|
| Funktionen |
|
Aufgabe 3 – Heißluftballon
Wie viel Liter Luft sind (ungefähr) in diesem Heißluftballon?
Quelle: Wilfried Herget „Ein Bild sagt mehr als tausend Worte“, http://blk.mat.uni-bayreuth.de/
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Diese Aufgabe ist gänzlich offen, ohne Vorgaben an die Vorgehensweise der Schülerinnen und Schüler, gestellt. Ziel ist die Bestimmung eines groben Näherungswertes für das Volumen des Ballons und der Entwicklung geeigneter Methoden hierfür. Dies kann z. B. erfolgen über:
- die Zerlegung des Ballonkörpers in eine Halbkugel und einen Kegel; „maßstäbliche Abschätzungen und Berechnung“ von Radius und Höhe, Bewertung der „Genauigkeit“ des Ergebnisses,
- die Annäherung des Ballonkörpers durch eine Kugel,
- die Annäherung des Ballonkörpers durch einen Würfel.
Um einen Maßstab zu gewinnen, kann die geschätzte Körpergröße einer abgebildeten Person herangezogen werden.
| Schülerinnen und Schüler | |
| Argumentieren/Kommunizieren |
|
| Problemlösen |
|
| Modellieren |
|
| Geometrie |
|