Im Folgenden werden Kompetenzen benannt, die Schülerinnen und Schüler am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 nachhaltig und nachweislich erworben haben sollen. Sie legen die Art der fachlichen Anforderungen fest. Die Anforderungshöhe und der Komplexitätsgrad der fachlichen Anforderungen sind sowohl im Unterricht als auch in der Leistungsbewertung altersgemäß und mit Bezug auf die Anforderungen der Schulform zu konkretisieren. Kapitel 4 erläutert die Anforderungen an ausgewählten Muster- und Modellaufgaben.

Die hier benannten Kompetenzen gliedern sich nach den Bereichen des Faches und beschreiben dessen Kern. Sie bauen auf den in der Grundschule erworbenen Kompetenzen auf und machen eine Progression über die Jahrgangsstufen hinweg deutlich. Der Unterricht ist nicht allein auf den Erwerb dieser Kernkompetenzen beschränkt, sondern soll es Schülerinnen und Schülern ermöglichen, auf vielfältige Weise darüber hinausgehende Kompetenzen zu erwerben, weiterzuentwickeln und zu nutzen.

Kompetenzen werden im Unterricht nicht einzeln und isoliert erworben, sondern in wechselnden und miteinander verknüpften Kontexten. Der Unterricht muss dazu vielfältige, die Jahrgangsstufen durchziehende Lerngelegenheiten anbieten. Eine thematisch-inhaltliche Reihenfolge innerhalb der Jahrgangsstufen ist durch den Kernlehrplan nicht festgeschrieben.

Der Kernlehrplan bildet damit einerseits die verpflichtende Grundlage für die Überarbeitung der schuleigenen Lehrpläne. Andererseits eröffnet er Lehrerinnen und Lehrern weitgehende Freiheiten für die inhaltliche, thematische und methodische Gestaltung von Unterrichtsabläufen. Sie können Schwerpunkte setzen, thematische Vertiefungen und Erweiterungen vornehmen und dabei die Bedingungen der eigenen Schule und der jeweiligen Lerngruppe berücksichtigen.

Im Folgenden werden die fachbezogenen Kompetenzen getrennt nach prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzen ausgewiesen. Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern jedoch immer nur in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Umgekehrt können sich inhaltsbezogene Kompetenzen nur entfalten, wenn Schülerinnen und Schüler prozessbezogene Kompetenzen aktivieren können. Mathematische Grundbildung zeigt sich in der flexiblen und vernetzten Nutzung dieser prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzen. Beide Bereiche müssen somit Gegenstand des Unterrichts und der Leistungsbewertung sein.

Lesen

• geben Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle) mit eigenen Worten wieder

Verbalisieren

• erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen

Kommunizieren

• arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team
• sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege, Ergebnisse und Darstellungen, finden, erklären und korrigieren Fehler

Präsentieren

• präsentieren Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen

Vernetzen

• setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (z.B. Produkt und Fläche; Quadrat und Rechteck; natürliche Zahlen und Brüche; Länge, Umfang, Fläche und Volumen)

Begründen

• nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begründens (Beschreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegungen, Angeben von Beispielen oder Gegenbeispielen)

Erkunden

• geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen
• finden in einfachen Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen

Lösen

• ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen
• nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschaulichen Alltagsproblemen
• wenden die Problemlösestrategien "Beispiele finden", "Überprüfen durch Probieren" an

Reflektieren

• deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung

Mathematisieren

• übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Terme, Figuren, Diagramme)

Validieren

• überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation

Realisieren

• ordnen einem mathematischen Modell (Term, Figur, Diagramm) eine passende Realsituation zu

Konstruieren

• nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen und genauen Zeichnen

Darstellen

• nutzen Präsentationsmedien (z.B. Folie, Plakat, Tafel)
• dokumentieren ihre Arbeit, ihre eigenen Lernwege und aus dem Unterricht erwachsene Merksätze und Ergebnisse (z.B. im Lerntagebuch, Merkheft)

Recherchieren

• nutzen selbst erstellte Dokumente und das Schulbuch zum Nachschlagen

Darstellen

• stellen ganze Zahlen auf verschiedene Weise dar (Zahlengerade, Zifferndarstellung, Stellenwerttafel, Wortform)
• stellen einfache Bruchteile auf verschiedene Weise dar: handelnd, zeichnerisch an verschiedenen Objekten, durch Zahlensymbole und als Punkte auf der Zahlengerade; sie deuten sie als Größen, Operatoren und Verhältnisse und nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns von Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung
• deuten Dezimalzahlen und Prozentzahlen als andere Darstellungsform für Brüche und stellen sie an der Zahlengerade dar; führen Umwandlungen zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl durch
• stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten dar

Ordnen

• ordnen und vergleichen Zahlen und runden natürliche Zahlen und Dezimalbrüche

Operieren

• führen Grundrechenarten aus (Kopfrechnen und schriftliche Rechenverfahren) mit
  • natürlichen Zahlen
  • endlichen Dezimalzahlen
  • einfachen Brüchen (Addition/Subtraktion)
• bestimmen Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen und wenden Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 10 an

Anwenden

• wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen und Größen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, Techniken des Überschlagens und die Probe als Rechenkontrolle

Systematisieren

• bestimmen Anzahlen auf systematische Weise

Darstellen

• stellen Beziehungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen und Diagrammen dar

Interpretieren

• lesen Informationen aus Tabellen und Diagrammen in einfachen Sachzusammenhängen ab
• erkunden Muster in Beziehungen zwischen Zahlen und stellen Vermutungen auf

Anwenden

• nutzen gängige Maßstabsverhältnisse

Erfassen

• verwenden die Grundbegriffe Punkt, Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch zur Beschreibung ebener und räumlicher Figuren
• benennen und charakterisieren Grundfiguren und Grundkörper (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Kreis, Quader, Würfel) und identifizieren sie in ihrer Umwelt

Konstruieren

• zeichnen grundlegende ebene Figuren (parallele und senkrechte Geraden, Winkel, Rechtecke, Quadrate, Kreise) und Muster auch im ebenen Koordinatensystem (1. Quadrant)
• skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Würfeln und Quadern und stellen die Körper her

Messen

• schätzen und bestimmen Längen, Winkel, Umfänge von Vielecken, Flächeninhalte von Rechtecken sowie Oberflächen und Volumina von Quadern

Erheben

• erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten zusammen

Darstellen

• stellen Häufigkeitstabellen zusammen und veranschaulichen diese mit Hilfe von Säulen- und Kreisdiagrammen

Auswerten

• bestimmen relative Häufigkeiten, arithmetisches Mittel und Median

Beurteilen

• lesen und interpretieren statistische Darstellungen

Lesen

• ziehen Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graf), strukturieren und bewerten sie

Verbalisieren

• erläutern die Arbeitsschritte bei einfachen mathematischen Verfahren (Konstruktionen, Rechenverfahren, Algorithmen) mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen

Kommunizieren

• vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen

Präsentieren

• präsentieren Lösungswege in kurzen, vorbereiteten Beiträgen

Vernetzen

• geben Ober- und Unterbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an (z.B. Proportionalität, Viereck)

Begründen

• nutzen mathematisches Wissen für Begründungen, auch in mehrschrittigen Argumentationen

Erkunden

• untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren und stellen Vermutungen auf

Lösen

• planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
• nutzen Algorithmen zum Lösen mathematischer Standardaufgaben und bewerten ihre Praktikabilität
• überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen oder Lösungswege
• wenden die Problemlösestrategie "Zurückführen auf Bekanntes" (Konstruktion von Hilfslinien, Zwischenrechnungen), "Spezialfälle finden" und "Verallgemeinern" an
• nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung

Reflektieren

• überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen
• überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit

Mathematisieren

• übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, Gleichungen, Zufallsversuche)

Validieren

• überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell

Realisieren

• ordnen einem mathematischen Modell (Tabelle, Graf, Gleichung) eine passende Realsituation zu

Erkunden

• nutzen Tabellenkalkulation und Geometriesoftware zum Erkunden inner- und außermathematischer Zusammenhänge

Berechnen

• nutzen den Taschenrechner

Darstellen

• tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mit Hilfe einer Tabellenkalkulation dar

Recherchieren

• nutzen Lexika, Schulbücher und Internet zur Informationsbeschaffung

Ordnen

• ordnen und vergleichen rationale Zahlen

Operieren

• führen Grundrechenarten für rationale Zahlen aus (Kopfrechnen und schriftliche Rechenverfahren)
• fassen Terme zusammen, multiplizieren sie aus und faktorisieren sie mit einem einfachen Faktor; sie nutzen binomische Formeln als Rechenstrategie
• lösen lineare Gleichungen sowohl durch Probieren als auch algebraisch und nutzen die Probe als Rechenkontrolle

Anwenden

• verwenden ihre Kenntnisse über rationale Zahlen und einfache lineare Gleichungen zur Lösung inner- und außermathematischer Probleme

Systematisieren

• nennen außermathematische Gründe und Beispiele für die Zahlbereichserweiterungen von den natürlichen zu den rationalen Zahlen

Darstellen

• stellen Zuordnungen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen

Interpretieren

• interpretieren Grafen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge

Anwenden

• identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen
• wenden die Eigenschaften von proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an
• berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert in Realsituationen (auch Zinsrechnung)

Erfassen

• benennen und charakterisieren rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, Parallelogramme, Rauten, Trapeze und Prismen und identifizieren sie in ihrer Umwelt

Konstruieren

• zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen
• skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Würfeln und Quadern und stellen die Körper her

Messen

• schätzen und bestimmen Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken, Parallelogrammen und daraus zusammengesetzten Figuren
• bestimmen Oberflächen und Volumina von einfachen Würfeln, Quadern und Prismen

Anwenden

• erfassen und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen oder der Kongruenz

Erheben

• planen Datenerhebungen, führen sie durch und nutzen zur Erfassung auch eine Tabellenkalkulation

Darstellen

• nutzen Median, Spannweite und Quartile zur Darstellung von Häufigkeitsverteilungen als Boxplots

Auswerten

• verwenden einstufige Zufallsversuche zur Darstellung zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen
• benutzen relative Häufigkeiten von langen Versuchsreihen zur Schätzung von Wahrscheinlichkeiten
• bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufallsexperimenten mit Hilfe der Laplace-Regel

Beurteilen

• nutzen Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung von Chancen und Risiken und zur Schätzung von Häufigkeiten
• interpretieren Spannweiten und Quartile in statistischen Darstellungen

Lesen

• ziehen Informationen aus einfachen authentischen Texten (z.B. Zeitungsberichten) und mathematischen Darstellungen, analysieren und beurteilen die Aussagen

Verbalisieren

• erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen

Kommunizieren

• überprüfen und bewerten Problembearbeitungen

Präsentieren

• präsentieren Problembearbeitungen in vorbereiteten Vorträgen

Vernetzen

• setzen Begriffe und Verfahren miteinander in Beziehung (z.B. Gleichungen und Graf, Gleichungssysteme und Grafen)

Begründen

• nutzen mathematisches Wissen und mathematische Symbole für Begründungen und Argumentationsketten

Erkunden

• zerlegen Probleme in Teilprobleme

Lösen

• wenden die Problemlösestrategien "Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten" an

Reflektieren

• vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie

Mathematisieren

• übersetzen Realsituationen, insbesondere exponentielle Wachstumsprozesse, in mathematische Modelle (Tabellen, Grafen, Terme)

Validieren

• vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation

Realisieren

• finden zu einem mathematischen Modell (insbesondere lineare und exponentielle Funktionen) passende Realsituationen

Erkunden

• nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme

Berechnen

• wählen ein geeignetes Werkzeug ("Bleistift und Papier", Taschenrechner, Geometriesoftware, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter) aus und nutzen es

Darstellen

• wählen geeignete Medien für die Dokumentation und Präsentation aus

Recherchieren

• nutzen selbstständig Print- und elektronische Medien zur Informationsbeschaffung

Darstellen

• lesen und schreiben Zahlen in Zehnerpotenz-Schreibweise und erläutern die Potenzschreibweise mit ganzzahligen Exponenten

Systematisieren

• unterscheiden rationale und irrationale Zahlen

Operieren

• wenden das Radizieren als Umkehren des Potenzierens an; berechnen und überschlagen Quadratwurzeln einfacher Zahlen im Kopf
• lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowohl durch Probieren als auch algebraisch und grafisch und nutzen die Probe als Rechenkontrolle
• lösen einfache quadratische Gleichungen
• lösen exponentielle Gleichungen der Form bx=c näherungsweise durch Probieren

Anwenden

• verwenden ihre Kenntnisse über lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen zur Lösung inner- und außermathematischer Probleme
• verwenden ihre Kenntnisse über quadratische und exponentielle Gleichungen zur Lösung inner- und außermathematischer Probleme

Darstellen

• stellen Funktionen (lineare, quadratische, exponentielle, Sinusfunktion) mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Grafen und in Termen dar, wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen ihre Vor- und Nachteile

Interpretieren

• deuten die Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung und nutzen dies in Anwendungssituationen

Anwenden

• wenden lineare, quadratische und exponentielle Funktionen zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an (auch Zinseszins)
• grenzen lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum an Beispielen gegeneinander ab

Erfassen

• benennen und charakterisieren Körper (Zylinder, Pyramiden, Kegel, Kugeln) und identifizieren sie in ihrer Umwelt

Konstruieren

• skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Zylindern, Pyramiden und Kegeln und stellen die Körper her
• vergrößern und verkleinern einfache Figuren maßstabsgetreu

Messen

• schätzen und bestimmen Umfänge und Flächeninhalte von Kreisen und zusammengesetzten Flächen sowie Oberflächen und Volumina von Zylindern, Pyramiden, Kegeln und Kugeln

Anwenden

• berechnen geometrische Größen und verwenden dazu den Satz des Pythagoras, Ähnlichkeitsbeziehungen und die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe des Satzes desThales

Darstellen

• veranschaulichen zweistufige Zufallsexperimente mit Hilfe von Baumdiagrammen

Auswerten

• verwenden zweistufige Zufallsversuche zur Darstellung zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen
• bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mit Hilfe der Pfadregeln

Beurteilen

• analysieren grafische statistische Darstellungen kritisch und erkennen Manipulationen