Von der graphischen Analyse zu Kriterien für Extremstellen und Wendestellen (Q-LK-A1)(20 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion),
• deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen,
• nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten,
• begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen,
• bilden die Ableitungen folgender Funktionen: ganzrationale Funktionen, Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten […],
• verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendestellen,
• beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung,
• lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):

Problemlösen

Die Studierenden ...

• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden),
• wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen).

Argumentieren

Die Studierenden ...

• präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten),
• nutzenmathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen(Begründen),
• verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten (Begründen),
• erklärenvorgegebeneArgumentationen und mathematische Beweise (Begründen),
• überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen),
• beurteilen Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit (Beurteilen),
• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her […] (Begründen),
• nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (direktes Schlussfolgern, Gegenbeispiele, indirekter Beweis) (Begründen).

Zum Einstieg in die Qualifikationsphase wird zunächst ein komplexerer Anwendungskontext (z. B. Herzfrequenz von Sportlern, vgl. Abitur 2008) mithilfe der graphischen Analyse untersucht und beschrieben. Dabei liegt der Schwerpunkt zunächst auf der Begriffsbildung bei der Untersuchung von Graphen und der Stärkung der Bedienkompetenz des digitalen Werkzeugs. Dabei erhalten die Studierenden auch einen Überblick über die im Folgenden zu systematisierenden Inhalte.

Im Sachkontext (Durchschnitts-, Momentangeschwindigkeit) wird der Übergang von der durchschnittlichen Änderung zur lokalen Änderung nicht nur graphisch sondern auch algebraisch erfasst.

Verschiedene Darstellungs- und Berechnungsmöglichkeiten des Differen­tialquotienten werden anhand einer quadratischen Funktion verglichen.

Das Berechnen des Werts der lokalen Änderung an beliebigen Stellen in einer kooperativen Arbeitsform veranschaulicht den Übergang von der Ableitung an einer Stelle zur Ableitungsfunktion.

Die Ableitungsregel für Potenzfunktionen wird aus geeigneten Beispielen mithilfe der graphischen Ableitung vermutet und anschließend rechnerisch bestätigt. Summen- und Faktorregel können in analoger Form angeschlossen werden.

Das kooperative Erkunden von Funktionen und ihren Graphen (z. B. als Gruppenpuzzle ) führt zu den benötigten Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten. Anwendungskontexte sollen in dieser Phase zunächst nicht betrachtet werden. Der Schwerpunkt liegt auf dem exakten Sprachgebrauch beim Argumentieren, der sukzessive vermittelt und eingeübt werden muss.

Die analoge Übertragung der Kriterien auf Monotonie, Krümmungsverhalten und Wendepunkte erfolgt wieder im Anwendungskontext (z. B. Höhenprofile).

In weiteren Anwendungskontexten werden die Kriterien vertieft und die Zusammenhänge zwischen Ausgangsfunktion, 1. und 2. Ableitung immer wieder ausführlich verbalisiert. Gemeinsame Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und am Term ablesbare Eigenschaften sollen deutlich herausgearbeitet werden.

Aufgrund der besonderen Bedeutung der Nullstellen werden an geeigneten Aufgaben die benötigten auch hilfsmittelfreien Techniken der Bestimmung eingeübt.