Optimierungsprobleme (Q-LK-A2)(10 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese,
• unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren

Die Studierenden ...

• treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor(Strukturieren),
• übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren),
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren),
• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren),
• beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren).

Problemlösen

Die Studierenden ...

• finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden),
• wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle …) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien ([…] systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel[…],Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme […], Verallgemeinern) (Lösen),
• setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen),
• berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen),
• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen),
• vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren).

Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien.

Deshalb orientiert sich das Unterrichtsvorhaben an der Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“

Es ist erforderlich, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u. a. mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu kommen.

An Problemen, die auf quadratische Zielfunktionen führen, sollten auch unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen werden. Hier bietet es sich außerdem an, Lösungsverfahren auch ohne digitale Hilfsmittel einzuüben.

Zum Einstieg in die Thematik bieten sich handlungsorientierte Problemstellungen an, wie die Optimierung von Faltschachteln.

Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Personaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- oder Abnahmerate der Änderungsrate der Funk­tion verliehen.

Die Bestimmung der Stellen mit extremaler Steigung erfolgt über das Vorzeichenwechselkriterium. Der Einsatz des GTR fördert gerade in diesem Kontext vielfältige Lösungsansätze, deren jeweilige fachliche Vollständigkeit gemeinsam mit den Studierenden diskutiert wird.

An Kontextproblemen entdecken die Studierenden die Notwendigkeit, Randwertextrema zu betrachten . Mögliche Randwertextrema geben Anlass, die reale Modellierung und ihre mathematische Lösung zu hinterfragen. Im Rahmen der Modellierungen wird die Bedeutung der zweiten Ableitung als Zu- oder Abnahme der Änderungsrate thematisiert.