Exponentialfunktionen in Anwendungen (Q-LK-A3)(30 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begründen die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion,
• verwendenExponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum,
• nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion,
• interpretierenParameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen,
• bilden die Ableitungen von Funktionen:

- natürliche Exponentialfunktion,

- Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis,

- natürliche Logarithmusfunktion,

• erkennen Strukturen zusammengesetzter Funktionen (Summe,Produkt,Verkettung) und begründen damit deren wesentlichen Eigenschaften,
• wenden die Summen- und Faktorregel sowie die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an,
• verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Problemlösen

Die Studierenden ...

• erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien ([…] systematisches Probierenoder Ausschließen, Darstellungswechsel […], Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme […]) (Lösen),
• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen),
• variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflektieren).

Argumentieren

Die Studierenden ...

• stellen Vermutungen auf (Vermuten),
• unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten),
• präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten),
• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her […] (Begründen),
• erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise (Begründen),
• erkennen lückenhafte Argumentationsketten und vervollständigen sie (Beurteilen).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge […] zum […]
  … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen […],
  … grafischen Messen von Steigungen […],
• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus,
• nutzenmathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen.

Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens steht eine Auffrischung der bereits in der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine arbeitsteilige Untersuchung verschiedener Kontexte z. B. in Gruppenarbeit mit Präsentation (Wachstum und Zerfall).

Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Exponentialfunktion zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung der Bedeutung der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durch Transformationen.

Anschließend wird mithilfe eines digitalen Werkzeugsmit einem Schieberegler die Basis variiert. Dabei ergibt sich die Frage, für welche Basis die Funktion und ihre Ableitungsfunktion übereinstimmen. Resultierend wird die Exponentialfunktion mit ihrer besonderen Eigenschaft thematisiert.

Die erforderlichen Ableitungsregeln, insbesondere die Ketten- und Produktregel, können zunächst ausgehend von vorgegebenen Beispielen oder mithilfe eines CAS erkundet und entdeckt werden. Exemplarische Beweise und Argumentationsketten werden untersucht, indem zum Beispiel vertauschte oder unvollständige Argumentationsketten berichtigt werden.

Die Eigenschaften (wie Globalverlauf, Symmetrie, usw.) und Strukturen zusammengesetzter Funktionen werden mit dem GTR erkundet und zum Beispiel in einem Glossar zusammengestellt.

An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dann wieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen) wird eine Modellierung durch zusammengesetzte Funktionen erarbeitet.

Als Beispiel für eine Funktionenschar wird folgende Funktionenschar f_a,b(x)=ae^-(x-b)2 mit dem GTR untersucht. Sie kann später in der Stochastik als Grundlage einer Normalverteilung wiedererkannt werden.

In diesem Rahmen wird auch die natürliche Logarithmusfunktion eingeführt und wesentliche Eigenschaften untersucht. Logarithmusfunktionen werden auch in Kombination mit anderen Funktionstypen bearbeitet.