Skalarprodukt – eine neue Rechenart und ihr Nutzen (Q-LK-G2)(10 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es,
• untersuchenmithilfe von Vektoreigenschaften bzw. dem Skalarprodukt geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren

Die Studierenden ...

• ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zu (Mathematisieren),
• reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Mathematisieren).

Problemlösen

Die Studierenden ...

• erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden),
• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien ([…] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen),
• wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen),
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren).

Das Skalarprodukt vervollständigt das Rechnen mit Vektoren, indem die Multiplikation von Vektoren definiert wird. In diesem Zusammenhang kann (optional über den KLP hinausgehend) auch das Vektorprodukt angesprochen werden.

Das Ergebnis eines Skalarproduktes wird geometrisch interpretiert. Die Studierenden erkennen, formulieren und berechnen Anwendungen des Skalarprodukts: Länge eines Vektors (Rückbezug zu UV Q-LK-G1), Orthogonalität von Vektoren, Winkel zwischen zwei Vektoren. Bei der Untersuchung von Objekten und Situationen im Raum kann problemlösend gearbeitet und die Anwendung des Skalarprodukts vertieft werden. (Hinweis: auf eine Herleitung mit dem Kosinussatz kann verzichtet werden.)

Anknüpfend an das vorige UV Q-LK-G1 werden Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken inklusive Winkelberechnungen mithilfe des Skalarproduktes untersucht..

Dreidimensionale Objekte im Raum bieten vielfältige Anlässe für im Sinne des Problemlösens offen angelegte, exemplarische geometrische Untersuchungen und können auf reale Objekte, z. B. Gebäude, bezogen werden. Elementargeometrische Lösungswege werden in diesem Zusammenhang als Alternativen unter Verwendung der Formelsammlung aufgezeigt und auf ihre Relevanz hin überprüft, z. B. Strahlensätze.