Ebenen in 3 D - Wie liegen Gerade und Ebene zueinander? (Q-LK-G4)(20 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar,
• untersuchen Lagebeziehungen [...] zwischen Gerade und Ebene,
• berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext,
• stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum,
• interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen auch in Vektor-Matrix-Schreibweise,
• bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Problemlösen

Die Studierenden ...

• recherchieren Informationen (Erkunden),
• wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, die Situation zu erfassen (Erkunden),
• erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [...]) (Lösen),
• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen),
• überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen (Reflektieren),
• interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung (Reflektieren),
• vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren),
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren),
• analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren),
• variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung(Reflektieren).

Kommunizieren

Die Studierenden ...

• erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren),
• verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang (Produzieren),
• wechseln flexibel zwischen math. Darstellungsformen (Produzieren),
• erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren),
• vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren),
• beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren (Rezipieren),
• greifen Beiträge auf und entwickeln sie weiter (Diskutieren),
• nehmen zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung (Diskutieren),
• führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbei (Diskutieren),
• wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren),
• formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren),
• wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren).

Freie oder leistungsdifferenziert gesteuerte Recherchearbeit zu Ebenen im dreidimensionalen Raum führen zu unterschiedlichen Darstellungen (Parameter-, Koordinaten-, Normalen- und Hesseform), die im Gruppenpuzzle miteinander verglichen werden. Studierende stellen geeignete Vergleichskriterien auf, z. B. Anzahl und Art der erforderlichen Vektoren, Anknüpfungsmöglichkeiten an Geradendarstellung, Nutzen für zeichnerische Darstellung.

Zur Veranschaulichung der Lage von Ebenen wird eine räumliche Geometriesoftware verwendet. Die Achsenabschnittsform erleichtert das Zeichnen geeigneter Ebenen ohne Hilfsmittel.

Im Kontext des Schattenwurfs entwickeln die Studierenden einen Lösungsplan zur Untersuchung der Lagebeziehungen von Gerade und Ebene analog zur Lagebeziehung von Geraden.

Die Interpretation unterschiedlicher Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen führt auf eine Systematisierung der Lagebeziehungen.

Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt. Die Interpretation unterschiedlicher Lösungsmengen von Linearen Gleichungssystemen führt auf eine Systematisierung der Lagebeziehungen. Die Vernetzung der geometrischen Vorstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen Formalisierung wird deutlich.

Vertiefend (und über den Kernlehrplan hinausgehend) kann bei genügend zur Verfügung stehender Zeit die Lösungsmenge eines Systems von Koordinatengleichungen als Schnittmenge von Ebenen geometrisch gedeutet werden. Dabei wird die Matrix-Vektor-Schreibweise genutzt. Dies bietet weitere Möglichkeiten, bekannte mathematische Sachverhalte zu vernetzen.

Ein Wechsel zwischen Koordinatenform und Parameterform der Ebene ist über die drei Achsenabschnitte möglich. Alternativ wird ein Normalenvektormithilfe eines Gleichungssystems (oder über den Kernlehrplan hinausgehend mit dem Vektorprodukt) bestimmt.

Verschiedene Aufgaben zur Abstandsberechnung zwischen Punkten, Geraden und Ebenen werden arbeitsteilig, leistungsdifferenziert bearbeitet, Lösungsstrategien werden erarbeitet und anschließend im Plenum vorgestellt.

Hier kann der Kontext der Flugbahnen aus Q-LK-G3 in Bezug auf den Abstand windschiefer Geraden wieder aufgegriffen werden. In diesem Sachzusammenhang wird die Frage des Abstandes zwischen Flugobjekten (Wo befinden sich die Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt?) relevant. Dabei muss deutlich werden, dass es um zwei verschiedene Abstandsbegriffe, nämlich den zeitlich gebundenen Abstand zwischen zwei Punkten und den Abstand zwischen geometrischen Objekten geht. (Bedeutung der Parameter)