Untersuchungen an geometrischen Körpern - Welche Lösungsstrategien sind hilfreich? (Q-LK-G5)(10 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar,
• untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen,
• berechnen (Schnittpunkte von Geraden sowie) Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext,
• untersuchenmithilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung),
• bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.

Vertiefend aus der Einführungsphase:

• stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,
• beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme,
• wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an,
• interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Problemlösen

Die Studierenden ...

• erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden),
• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. […] Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [...]) (Lösen),
• wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen),
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge […] zum
  … Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen […],
  … Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen […].

Hinweis: Angesichts des begrenzten Zeitrahmens ist es wichtig, den Fokus der Unterrichtstätigkeit nicht auf die Vollständigkeit einer „Rezeptsammlung“ und deren hieb- und stichfeste Einübung zu allen denkbaren Varianten zu legen, sondern bei den Studierenden prozessbezogene Kompetenzen zu entwickeln, die sie in die Lage versetzen, problemhaltige Aufgaben zu bearbeiten und dabei auch neue Anregungen zu verwerten.

Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten als Körper mit begrenzten Flächen vielfältige Anlässe für offen angelegte geometrische Untersuchungen und können auf reale Objekte bezogen werden. Lagebeziehungen und Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen werden von den Studierenden systematisiert, indem sie selber Fragestellungen und zugehörige Lösungsstrategien entwickeln und ihre Arbeitsergebnisse in geeigneter Form präsentieren.

Wo möglich, werden auch elementargeometrische Lösungswege als Alternative aufgezeigt Die Bestimmung von Längen und Winkeln setzt das Thema Q-LK-G2 direkt fort. Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene erlauben Rückschlüsse auf ihre Lagebeziehung.

Abstände von Punkten zu Geraden (Q-LK-G3) und zu Ebenen (Q-LK-G4) ermöglichen es, z. B. die Fläche eines Dreiecks oder die Höhe und das Volumen einer Pyramide zu bestimmen. In diesem Kontext wird die Einschränkung des Definitionsbereichs, z. B. zur Beschreibung von Parallelogrammen und Dreiecken, untersucht. Abgesehen von der Abstandsberechnung zwischen Geraden müssen weitere Formen der Abstandsberechnungen nicht systematisch abgearbeitet werden, sie können bei Bedarf im Rahmen von Problemlöseprozessen in konkrete Aufgaben integriert werden.

Parallelprojektion (Sonnenstrahlen) und Zentralprojektion (punktuelle Lichtquelle) bieten durch Betrachtung des Schattenwurfes eine Vertiefung und Vernetzung der bisherigen Unterrichtsinhalte. Der Einsatz geeigneter digitaler Werkzeuge ermöglicht es, den Ort der Strahlenquelle zu variieren.

Das Gauß-Verfahren wird im Zusammenhang mit der Berechnung von Schnittfiguren oder bei der Konstruktion regelmäßiger Polyeder vertieft. Weiter bietet der Einsatz des GTR Anlass, z. B. über die Interpretation der trigonalisiertenKoeffizientenmatrix die Dimension des Lösungsraumes zu untersuchen. Die Vernetzung der geometrischen Vorstellung und der algebraischen Formalisierung wird stets deutlich.

In diesem Unterrichtsvorhaben wird im Sinne einer wissenschaftspropädeutischen Grundbildung besonderer Wert gelegt auf eigenständige Lernprozesse bei der Aneignung eines begrenzten Stoffgebietes sowie bei der Lösung von problemorientierten Aufgaben. In diesem Unterrichtsvorhaben werden auch heuristische Strategien und Vorgehensweisen aufgegriffen. Beispielsweise:

• eine planerische Skizze anzufertigen und die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt zu beschreiben,
• geometrische Hilfsobjekte einzuführen,
• an geometrischen Situationen Fallunterscheidungen vorzunehmen,
• bekannte Verfahren zielgerichtet einzusetzen und in komplexeren Abläufen zu kombinieren,
• unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt zu vergleichen.

Abschließend nehmen die Studierenden eine Selbsteinschätzung ihrer Kompetenzen im Bereich der analytischen Geometrie vor und überprüfen sich anhand von komplexen Aufgaben.