Treffer oder nicht? –Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)(10 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls­experimente,
• erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten,
• nutzen Binomialverteilungen […] zur Lösung von Problemstellungen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren

Die Studierenden ...

• treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren),
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren),
• ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zu (Mathematisieren),
• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren),
• beurteilendie Angemessenheit aufgestellter […] Modelle für die Fragestellung (Validieren).

Problemlösen

Die Studierenden ...

• greifen auf Erfahrungen aus ihrer Berufswelt zurück, die sie reorganisieren und mit neuen Inhalten verknüpfen (Erkunden),
• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden),
• erkennen Muster und Beziehungen(Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege(Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern) (Lösen),
• wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen(Lösen),
• interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung(Reflektieren),
• vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten(Reflektieren),
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz (Reflektieren).

Ein Schwerpunkt bei der Betrachtung von Binomialverteilungen soll auf der Modellierung stochastischer Situationen liegen.

Für den Einstieg in dieses Unterrichtsvorhaben eignet sich der Kontext von Prüfungsaufgaben, bei denen jeweils genau eine der vorgegebenen Antwortmöglichkeiten richtig ist. In diesem Kontext führt die Frage nach dem Bestehen der Prüfung unter der Grundannahme, dass blind geraten wird, zu einer Bernoullikette, die für eine geringe Anzahl an Prüfungsfragen auf das Baumdiagramm als bekannte Vorgehensweise zurückgeführt werden kann. Die besondere Bedeutung der Unabhängigkeit für Bernoulliketten wird am Baumdiagramm entdeckt und für verschiedene Kontexte (z. B. Ziehen mit/ohne Zurücklegen) interpretiert.

Die Binomialverteilung wird aus den Baumdiagrammen einer an Länge zunehmenden Bernoullikette entdeckt bzw. entwickelt. Dabei wird der Binomialkoeffizient als Anzahl der Pfade zunächst für kleine Zahlen, ausgehend vom Baumdiagramm, ermittelt und erkundet. Anschließend wird der Binomialkoeffizient kombinatorisch abgeleitet, begründet und in einfachen Fällen auch ohne Hilfsmittel bestimmt. Bei der Erarbeitung des Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung können Aspekte des Problemlösens und insbesondere heuristische Strategien thematisiert und bewusst gemacht werden.

Mithilfe der Binomialverteilung werden schließlich Problemstellungen in verschiedenen realen Kontexten und Spielsituationen bearbeitet und auch mithilfe des GTR gelöst. In diesem Rahmen können am Rande auch Fragen der Modellierung wiederholend aufgegriffen werden. Bei entsprechenden Problemstellungen werden auch kumulierte Wahrscheinlichkeiten eingeführt, verwendet und mit dem GTR berechnet. Verschiedene Lösungswege (zum Beispiel über die Gegenwahrscheinlichkeit) können verglichen und diskutiert werden.

Bei der Diskussion der Modellierung in verschiedenen Kontexten werden auch die Grenzen des Modellierungsprozesses aufgezeigt und begründet. In diesem Zusammenhang werden geklärt:

• die Beschreibung des Sachkontextes durch ein Zufallsexperiment
• die Interpretation des Zufallsexperiments als Bernoullikette
• die Definition der zu betrachtenden Zufallsgröße
• die Unabhängigkeit der Ergebnisse
• die Benennung von Stichprobenumfang n und Trefferwahrscheinlichkeit p

Auch Beispiele der Modellumkehrung können betrachtet werden. („Von der Verteilung zur Realsituation“).

Hinweis: Der Einsatz des GTR zur Berechnung von binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten ermöglicht den Verzicht auf stochastische Tabellen und eröffnet aus der numerischen Perspektive den Einsatz von Aufgaben in realitätsnahen Kontexten.