Von der graphischen Analyse zu Kriterien für Extremstellen und Wendestellen (Q-GK-A1)(15 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion),
• begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen,
• bilden die Ableitungen von Funktionen: ganzrationale Funktionen, Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten […],
• verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendestellen,
• beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung,
• lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):

Problemlösen

Die Studierenden ...

• analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden),
• erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden),
• wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen).

Argumentieren

Die Studierenden ...

• präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten),
• nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen(Begründen),
• verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten (Begründen),
• erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise (Begründen),
• überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen),
• beurteilen Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit(Beurteilen),
• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her [...] (Begründen),
• nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (direktes Schlussfolgern, Gegenbeispiele, indirekter Beweis) (Begründen).

Zum Einstieg in die Qualifikationsphase wird zunächst ein komplexerer Kontext (z. B. die Herzfrequenzaufgabe aus dem Abitur 2008) mithilfe der graphischen Analyse mit Unterstützung des GTR untersucht und beschrieben. Dabei liegt der Schwerpunkt zunächst auf der Begriffsbildung bei der Untersuchung von Graphen und der Stärkung der Bedienkompetenz des digitalen Werkzeugs. So erhalten die Studierenden auch einen Überblick über die im Folgenden zu systematisierenden Inhalte.

Im Sachkontext (Durchschnitts-, Momentangeschwindigkeit) wird ausgehend von der Visualisierung mit dem GTR der Übergang von der durchschnittlichen Änderung zur lokalen Änderung schließlich zunehmend auch algebraisch erfasst. Dies geschieht exemplarisch an quadratischen Funktionen mit einer der verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten (h-Methode oder x gegen x₀) und der Anwendung der binomischen Formeln.

Das Berechnen des Werts der lokalen Änderung an unterschiedlichen beliebigen Stellen in einer kooperativen Arbeitsform veranschaulicht den Übergang von der Ableitung an einer Stelle zur Ableitungsfunktion.

Die Ergebnisse des graphischen Differenzierens werden im Anschluss aufgegriffen. Vermutungen des Zusammenhangs von Funktion und Ableitungsfunktion führen zur Potenzregel. Summen- und Faktorregel können in analoger Form angeschlossen werden.

Kontexte spielen in dieser Phase eine untergeordnete Rolle. Der Schwerpunkt liegt auf dem exaktenSprachgebrauch, der sukzessive vermittelt und eingeübt werden muss.

Das kooperative Erkunden von Funktionen und ihren Graphen (z. B. als Gruppenpuzzle ) führt zu den benötigten Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten.

Die analoge Übertragung der Kriterien auf Krümmungsverhalten und Wendepunkte erfolgt wieder im Anwendungskontext (z. B. Höhenprofile).

Die Zusammenhänge zwischen Ausgangsfunktion, 1. und 2. Ableitung werden immer wieder ausführlich verbalisiert. Gemeinsame Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und am Term ablesbare Eigenschaften werden herausgearbeitet. In diesem Zusammenhang wird auch mit dem Grad einer ganzrationalen Funktion argumentiert. In weiteren Anwendungskontexten werden die Kriterien vertieft.

Aufgrund der besonderen Bedeutung der Nullstellen werden an geeigneten Aufgaben die benötigten auch hilfsmittelfreien Techniken der Bestimmung eingeübt. Diese sind auf die im KLP ausgewiesenen Verfahren (Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen) zu beschränken. Das Verfahren der Polynomdivision wird nicht eingeführt.