Exponentialfunktionen in Anwendungen (Q-GK-A3)(12 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion,
• untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mithilfe funktionaler Ansätze,
• interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang,
• bilden die Ableitungen folgender Funktionen: natürliche Exponentialfunktion,
• bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung),
• wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an,
• wenden die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen an.

Prozessbezogene Kompetenzen(Schwerpunkte):

Problemlösen

Die Studierenden ...

• erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme (Erkunden),
• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen),
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme) (Lösen),
• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen),
• variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung (Reflektieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
  … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen,
  … grafischen Messen von Steigungen,
• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus,
• nutzen digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen.

Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens steht eine Auffrischung der bereits in der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine arbeitsteilige Untersuchung verschiedener Kontexte z. B. in Gruppenarbeit mit Präsentation (Wachstum und Zerfall).

Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Exponentialfunktion zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung der Bedeutung der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durch Transformationen.

Anschließend wird mithilfe eines Schiebereglers in einem Funktionenplotter die Basis variiert. Dabei ergibt sich die Frage, für welche Basis die Funktion und ihre Ableitungsfunktion übereinstimmen. Resultierend wird die Exponentialfunktion mit ihrer besonderen Eigenschaft thematisiert.

Im Zusammenhang mit der Modellierung von Wachstumsprozessen durch natürliche Exponentialfunktionen mit linearen Exponenten wird die Kettenregel eingeführt, um auch hilfsmittelfrei Ableitungen für die entsprechenden Funktionsterme bilden zu können. Als Beispiel für eine Summenfunktion von Exponentialfunktionen wird eine Kettenlinie modelliert. An mindestens einem Beispiel wird ein beschränktes Wachstum untersucht.

An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dann wieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen), wird eine Modellierung durch Produkte von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen erarbeitet. In diesem Zusammenhang wird die Produktregel zum Ableiten eingeführt. Produkt- und Kettenregel werden in der Formelsammlung aufgefunden und ohne Beweis verwendet.

Parameter werden nur in konkreten Kontexten und nur exemplarisch variiert (keine systematische Untersuchung von Funktionenscharen). Dabei werden z. B. zahlenmäßige Änderungen des Funktionsterms bezüglich ihrer Auswirkung untersucht und im Hinblick auf den Kontext interpretiert.

Allgemeine Funktionseigenschaften wie Globalverlauf und Symmetrie werden wiederholt und an der neuen Klasse von Funktionen betrachtet. Bei Anwendungskontexten ist das Thema der Modellkritik, z. B. bezogen auf den Geltungsbereich eines Modells, wichtig.