Integralrechnung (Q-GK-A4)(15 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe,
• deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext,
• skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion,
• erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
• erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung),
• nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen,
• bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen,
• bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge,
• ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate,
• bestimmen Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen.

Prozessbezogene Kompetenzen(Schwerpunkte):

Argumentieren

Die Studierenden ...

• stellen Vermutungen auf (Vermuten),
• unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten),
• präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten),
• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her [...] (Begründen).

Kommunizieren

Die Studierenden ...

• erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren),
• erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren),
• formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren),
• erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren),
• vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,
• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
• Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse,
• Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals.

Das Thema ist vergleichbar zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb werden hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen (Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge).

Der Einstieg erfolgt über eine arbeitsteilige Gruppenarbeit, in der sich die Studierenden selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erarbeiten. Außer der einfachen, geometrischen Eingrenzungdurch Ober- und Untersummen entwickeln die Studierenden eigenständig weitere unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands und vergleichen diese. Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert.

Qualitativ können die Studierenden so den Graphen einer Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren.

Die Ergebnisse der Gruppenarbeit werden zunächst auf Plakaten festgehalten und in einem Museumsgang von den Studierenden präsentiert. In diesem Zusammenhang wird das Vorbereiten von Kurzvorträgen und deren Präsentation geübt, Kriterien für gute Vorträge werden festgehalten.

Studierende entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist.

Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen.

Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Randfunktion möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integralfunktion eingeführt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integralfunktion im Hauptsatz formuliert (ggf. als kurzer Lehrervortrag).

Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Studierenden durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsregeln selbstständig erarbeitet. (z. B. durch ein Graphendomino)

Neben der Nutzung des Hauptsatzes soll das Abschätzen bzw. das numerische Berechnen von Flächenmaßzahlen unter einem Graphen als Verfahren auch hilfsmittelfrei durchgeführt werden.

Die Studierenden berechnen Flächeninhalte, indem sie die Intervalladditivität und Linearität nutzen. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt.

Komplexere Anwendungsaufgaben (ganzrationale und Exponentialfunktionen) werden am Ende des Unterrichtsvorhabens bearbeitet, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisherigen Unterrichtsvorhabenherzustellen.