Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)(9 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben,
• stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch,
• erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen,
• bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung s von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):

Modellieren

Die Studierenden ...

• treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren),
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren),
• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren),
• beurteilendie Angemessenheit aufgestellter […] Modelle für die Fragestellung (Validieren),
• reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Validieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwendenverschiedene digitale Werkzeuge zumErmitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung),
• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,
• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus.

Im ersten Teil dieses Unterrichtsvorhabens liegt der Fokus auf der Beschreibung und Untersuchung von statistischen Daten mithilfe von Tabellenkalkulation und GTR. Im Kontext überschaubarer Einkommensstichproben verschiedener Berufsgruppen mit wenigen Datenpunkten, z. B. Frisöre in verschiedenen Städten, werden Mittelwerte und Streumaße diskutiert und wiederholt bzw. neu eingeführt. Dabei können Stichproben mit deutlichen Ausreißern die Diskussion über Mittelwerte (Median und Arithmetisches Mittel) anregen, während Stichproben (bzw. Berufsgruppen) mit gleichem Mittelwert aber unterschiedlicher Streuung die Diskussion über Streumaße und dabei auch über die Standardabweichung als mittlere quadratische Abweichung anregen. Die Berechnung der Standardabweichung erfolgt mithilfe des GTR. Grundsätzlich sollen neben den bekannten mathematischen Größen auch von den Studierenden selbst entwickelte bzw. vorgeschlagene Mittelwerte und Streumaße diskutiert werden.

Im zweiten Teil dieses Unterrichtsvorhabens liegt der Fokus auf Modellierung stochastischer Situationen. Dabei kann der Übergang von statistischen Werten (Häufigkeiten) zu Wahrscheinlichkeiten als Teil einer Modellierung interpretiert und diskutiert werden, wobei auch die Angemessenheit der Modellierung thematisiert werden sollte.

Anhand verschiedener Glücksspiele wird zunächst der Begriff der Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Beschreibung von Zufallsexperimenten thematisiert. Hier sollte, um die Stoffgebiete zu vernetzen, auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung als eindeutige Zuordnung verwiesen werden. Diese Funktionen werden in der Regel als Tabellen dargestellt und haben meistens keinen Funktionsterm.

Die Frage nach fairen Einsätzen bei verschiedenen Glücksspielen motiviert die Betrachtung des Erwartungswerts. Dabei kann auch die Abhängigkeit von den Annahmen der Modellierung diskutiert werden.

Die Analogie zwischen dem Erwartungswert und dem Arithmetischem Mittel führt dazu, Varianz und Standardabweichung für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Zufallsgrößen zu betrachten. Anschließend können mithilfe des Erwartungswertes, der Varianz und der Standardabweichung Wahrscheinlichkeitsverteilungen verglichen und prognostische Aussagen getätigt werden.