Von Übergängen und Prozessen (Q-GK-S4)(9 Std)

Zu entwickelnde Kompetenzen

Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Studierenden ...

• beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen,
• verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände).

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren

Die Studierenden ...

• erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren),
• übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren),
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells(Mathematisieren),
• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren).

Werkzeuge nutzen

Die Studierenden ...

• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
  … Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen,
  … Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen,
• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,
• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus.

Hinweis:

Die Behandlung stochastischer Prozesse sollte genutzt werden, um zentrale Begriffe aus Stochastik (Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit) und Analysis (Grenzwert) mit Begriffen und Methoden der Linearen Algebra (Vektor, Matrix, lineare Gleichungssysteme) zu vernetzen. Studierende modellieren dabei in der Realität komplexe Prozesse, deren langfristige zeitliche Entwicklung untersucht und als Grundlage für Entscheidungen und Maßnahmen genutzt werden kann.

Die tabellarische Darstellung der Übergänge in einem Prozessdiagramm führt in der verkürzten Schreibweise zu einer stochastischen Übergangsmatrix. Im Rahmen der Berechnung des folgenden Zustandes wird ein System von Gleichungen entwickelt, das zur Matrix-Vektor-Darstellung führt und damit an die Matrix-Vektor-Schreibweise der linearen Gleichungssysteme anknüpft.

Untersuchungen in unterschiedlichen realen Kontexten führen zur Entwicklung von Begriffen zur Beschreibung von Eigenschaften stochastischer Prozesse (Potenzen der Übergangsmatrix, Grenzmatrix, stabile Verteilung, absorbierender Zustand).

Wenn der zeitliche Rahmen es erlaubt, können bei der Bestimmung der stabilen Verteilung die näherungsweise Bestimmung mithilfe des GTR und die algebraische Bestimmung mithilfe von Gleichungssystemen als konkurrierende Lösungswege verglichen und diskutiert werden.

Es bietet sich an, Ausgangszustände über ein entsprechendes Gleichungssystem zu ermitteln und zu erfahren, dass der GTR als Hilfsmittel dazu die inverse Matrix bereitstellt.