2  Kompetenzbereiche, Inhaltsfelder und Kompetenzerwartungen

Die in den allgemeinen Aufgaben und Zielen des Faches beschriebene übergreifende fachliche Kompetenz wird ausdifferenziert, indem fachspezifische Kompetenzbereiche und Inhaltsfelder identifiziert und ausgewiesen werden. Dieses analytische Vorgehen erfolgt, um die Strukturierung der fachrelevanten Prozesse einerseits sowie der Gegenstände andererseits transparent zu machen. In konkreten Lern- und Anforderungssituationen werden beide Seiten miteinander verknüpft. Damit wird der Tatsache Rechnung getragen, dass der gleichzeitige Einsatz von Können und Wissen bei der Bewältigung von Anforderungssituationen eine zentrale Rolle spielt.

Kompetenzbereiche repräsentieren die Grunddimensionen des fachlichen Handelns. Sie dienen dazu, die einzelnen Teiloperationen entlang der fachlichen Kerne zu strukturieren und den Zugriff für die am Lehr-/ Lernprozess Beteiligten zu verdeutlichen.

Inhaltsfelder systematisieren mit ihren jeweiligen inhaltlichen Schwerpunkten die im Unterricht der Bildungsgänge am Abendgymnasium und Kolleg verbindlichen und unverzichtbaren Gegenstände und liefern Hinweise für die inhaltliche Ausrichtung des Lehrens und Lernens.

Kompetenzerwartungen beschreiben die fachlichen Anforderungen und intendierten Lernergebnisse, die erreicht werden sollen.

Kompetenzerwartungen

• beziehen sich auf beobachtbare Handlungen und sind auf die Bewältigung von Anforderungssituationen ausgerichtet,
• stellen im Sinne von Regelstandards die erwarteten Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf einem mittleren Abstraktionsgrad dar,
• ermöglichen die Darstellung einer Progression vom Anfang bis zum Ende der Bildungsgänge am Abendgymnasium und Kolleg und zielen auf kumulatives, systematisch vernetztes Lernen,
• können in Aufgabenstellungen umgesetzt und überprüft werden.

Konkrete Lern- und Anforderungssituationen verknüpfen prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzerwartungen. Sie werden von den Lehrerinnen und Lehrern im Unterricht und im Rahmen der Absprachen der Fachkonferenz gestaltet. Prozesse und Gegenstände werden dort zusammengeführt und die intendierten Lernergebnisse und fachlichen Anforderungen konkretisiert.

Insgesamt ist der Unterricht nicht allein auf das Erreichen der aufgeführten Kompetenzerwartungen beschränkt, sondern soll die Studierendenbefähigen diese eigenständig weiter auszubauen und darüber hinausgehende Kompetenzen zu erwerben.

2.1 Kompetenzbereiche und Inhaltsfelder des Faches

Der Beitrag des Faches Mathematik zur erweiterten Allgemeinbildung beschränkt sich nicht auf die Bearbeitung verbindlicher Inhalte, sondern zielt auf den Erwerb prozess- und inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen.

Kompetenzbereiche

Die Kompetenzbereiche Modellieren, Problemlösen und Argumentieren spiegeln die für das Fach charakteristischen Prozesse wider. Sie werden ergänzt durch die Kompetenzbereiche Kommunizieren und Werkzeuge nutzen, ohne die mathematisches Arbeiten nicht denkbar ist.

Kompetenzbereich Modellieren

Mathematik entwickelt sich im Wechselspiel von Theorie und praktischer Anwendung, sie trägt zum Verständnis und zur Gestaltung der uns umgebenden Welt bei. Das Modellieren ist der Prozess der Strukturierung von Sachsituationen, der Beschreibung außermathematischer Realität durch mathematische Begriffe und Zusammenhänge (Mathematisierung) sowie der Nutzung mathematischer Zusammenhänge zur Lösung realer Probleme, der anschließenden Interpretation des Ergebnisses und der Validierung des Modells.

Kompetenzbereich Problemlösen

Die mathematische Bearbeitung außer- oder innermathematischer Kontexte führt immer wieder zu Problemstellungen, die (zunächst) nicht schematisch oder in direkter Anlehnung an bekannte Muster und Verfahren bearbeitet werden können. Das Problemlösen ist der Prozess der Bearbeitung solcher Problemstellungen durch Erkunden, Lösen durch Anwendung heuristischer Strategien und Reflektieren von Lösungsansätzen.

Kompetenzbereich Argumentieren

Bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Begriffen und Gesetzmäßigkeiten werden immer wieder weitere Zusammenhänge vermutet oder entdeckt. Das Argumentieren umfasst das Begründen und Beweisen vermuteter mathematischer Zusammenhänge durch Rückgriff auf Bekanntes und die Regeln des mathematischen Schlussfolgerns sowie das Beurteilen von Argumentationsketten.

Kompetenzbereich Kommunizieren

Die individuelle mathematische Bearbeitung von Fragestellungen benötigt Möglichkeiten der verbalen und nicht-verbalen Darstellung von mathematischen Begriffen und Zusammenhängen. Im sozialen Austausch müssen diese Darstellungen intersubjektiv nachvollziehbar sein und bestehende Konventionen berücksichtigen. Das Kommunizieren umfasst die Rezeption und die Produktion von Dokumentationen fachlicher Bearbeitungen sowie die Diskussion darüber. Für die Mathematik sind neben der verbalen Darstellung insbesondere die ikonische und die symbolische Darstellung von zentraler Bedeutung.

Kompetenzbereich Werkzeuge nutzen

Bei der mathematischen Bearbeitung komplexer Fragestellungen treten immer wieder Routinen auf, die an geeignete digitale und nicht-digitale Werkzeuge delegiert werden können. Dadurch kann die Bearbeitung auf den eigentlichen mathematischen Kern konzentriert werden. Dynamische und interaktive Werkzeuge unterstützen das Experimentieren, Simulieren, Erkunden von Situationen, Entdecken mathematischer Zusammenhänge, Gewinnen von Vermutungen, Kontrollieren von Ergebnissen, Visualisieren von Sachverhalten und Präsentieren von Ergebnissen und dienen damit der Förderung des Verständnisses für mathematische Zusammenhänge. Sie erlauben es, größere Datenmengen zu verarbeiten und erweitern die Möglichkeiten komplexe Probleme numerisch, grafisch und algebraisch zu bearbeiten.

Inhaltsfelder

Die folgenden Inhaltsfelder des Faches Mathematik strukturieren die fachlichen Gegenstände, die für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht in den Bildungsgängen der Abendgymnasien und Kollegs relevant sind. Sie sollen so grundgelegt und fortgeführt werden, dass den Studierenden ein Verständnis der klaren Gliederung der einzelnen Inhaltsfelder vermittelt und gleichzeitig deren Vernetzung verdeutlicht wird.

Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A)

In vielfältigen Anwendungssituationen spielt die simultane Betrachtung zweier Größen eine besondere Rolle, wobei eine als von der anderen abhängig betrachtet wird. Funktionen sind mathematische Modelle für solche Zusammenhänge. Im Rahmen der Analysis wird die Beschreibung und Untersuchung funktionaler Zusammenhänge vertieft, indem die jeweils zueinander inversen Fragestellungen der Bestimmung von durchschnittlichen und lokalen Änderungsraten (Ableitung) und der Rekonstruktion des Bestandes aus Änderungsraten (Integral) bzw. der Bestimmung von Tangenten an Kurven (Ableitung) und die Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven (Integral) systematisch bearbeitet werden.

Inhaltsfeld analytische Geometrie und lineare Algebra (G)

Die Geometrie umfasst den quantitativen und den qualitativen Umgang mit ebenen und räumlichen Strukturen. Die Idee der Koordinatisierung ermöglicht deren vertiefte Untersuchung mit algebraischen Mitteln im Rahmen der analytischen Geometrie. Die Beschreibung mittels Vektoren erlaubt dabei den Rückgriff auf das universelle Handwerkszeug der linearen Algebra. Aus der Idee der Parametrisierung ergeben sich Beschreibungen für geometrische Objekte sowie für geradlinige Bewegungen im Raum. Nach der Metrisierung des Raumes mit dem Skalarprodukt lassen sich nicht nur Winkel-, Längen- und Abstandsmessungen durchführen, sondern auch die strategischen und rechnerischen Bearbeitungsmöglichkeiten für geometrische Fragestellungen erweitern.

Inhaltsfeld Stochastik (S)

Die Stochastik umfasst die Mathematik der Datenund des Zufalls, die durch das Auswerten von Stichproben und das Simulieren stochastischer Vorgänge verbunden sind. Stochastische Methoden ermöglichen es, viele Fragestellungen des Alltags rational quantitativ zu bearbeiten und Entscheidungen und Prognosen unter Unsicherheit zu treffen. Zufallsbedingte Phänomene können durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliert werden. Das Testen von Hypothesen ermöglicht es, diese Modelle hinsichtlich der gewählten Parameter zu beurteilen.

Vernetzung der Inhaltsfelder

Die Inhaltsfelder Analysis, analytische Geometrie und lineare Algebra sowie Stochastik sind nicht isoliert nebeneinander zu betrachten, vielmehr werden sie konzeptionell vernetzt (z. B. durch übergreifende Konzepte wie funktionaler Zusammenhang, Mittelwert, Kumulation, Iteration, Grenzwert). Wo möglich sollten fächerverbindende Aspekte, insbesondere im Zusammenhang mit Naturwissenschaften und Technik, aber auch den Sozialwissenschaften Berücksichtigung finden. Im Mathematikunterricht stehen realitätsbezogene Anwendungen gleichgewichtig und gleichwertig neben innermathematischen Fragestellungen. Die Studierenden sollen zum Ende der Qualifikationsphase Fachkompetenzen erworben haben, die es ihnen ermöglichen, sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Besonderheiten der Inhaltsfelder zu identifizieren und die ihnen zu Grunde gelegten Konzepte flexibel zu nutzen.

Verknüpfung von Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern

Im Sinne erwarteter mathematischer Kompetenz ist prinzipiell jede Verknüpfung von fachlichen Prozessen und fachlichen Gegenständen denkbar und relevant. Dennoch muss der Unterricht nicht jede einzelne Verknüpfung explizit in den Blick nehmen, da weder einzelne Gegenstände an bestimmte Prozesse noch einzelne Prozesse an bestimmte Gegenstände gebunden sind. Es liegt in der Verantwortung der Fachkonferenzen und der Lehrerinnen und Lehrer fachliche Prozesse, fachliche Gegenstände und geeignete Kontexte in den schulinternen Lehrplänen und in konkreten Lern- und Anforderungssituationen so zu verknüpfen, dass ein kohärentes Bild fachlichen Handelns entsteht.Dies gelingt dadurch, dass den Studierenden vielfältige Erfahrungen ermöglicht werden, in fachlichen Prozessen(Kapitel 2.2) mit den fachlichen Gegenständen in den unterschiedlichen Inhaltsfeldern (Kapitel 2.3 und 2.4) zu handeln.

Mathematische Kompetenz auf der Grundlage dieses Kernlehrplans meint die Fähigkeit, mathematische Prozesse mit fachlichen Gegenständen der drei Inhaltsfelder ausüben zu können.

2.2 Kompetenzerwartungen in den prozessbezogenen Kompetenzbereichen

Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche repräsentieren den Beitrag des Faches Mathematik in den Bildungsgängen am Abendgymnasium und Kolleg zur erweiterten Allgemeinbildung und begründen damit neben ihrem Nutzen für den Alltag das Fundament für die allgemeine Studierfähigkeit ebenso wie für andere berufliche Werdegänge. Die entsprechenden Kompetenzen entwickeln sich während der Auseinandersetzung mit den verbindlichen mathematischen Inhalten.

In den Bildungsgängen am Abendgymnasium und Kolleg werden die prozessbezogenen Kompetenzen der Sekundarstufe I wieder aufgegriffen bzw. erneut bearbeitet, gefestigt, bewusst gemacht und mit der Erfahrungswelt aus Lehre und Arbeitswelt in Einklang gebracht. Durch die Verbindung mit neuen Inhaltsfeldern in zunehmend komplexen und kognitiv anspruchsvollen Lernsituationen werden diese Kompetenzen weiter vertieft, ausdifferenziert und miteinander vernetzt. Die dabei im Mathematikunterricht in lerngruppenspezifischen Kontexten und Themen erworbenen übergreifenden Kompetenzen können die Studierenden sowohl zum Aufbau eines konsistenten und positiven Mathematikbildes als auch in anderen Zusammenhängen und Situationen nutzen, um somit eine allgemeine Studierfähigkeit zu erwerben. Dabei sollte berücksichtigt werden, dass eine gründlich vernetzte und breit angelegte Basis in der Einführungsphase eine größere Progression in höheren Semestern ermöglicht.

Im Folgenden werden die prozessbezogenen Kompetenzerwartungen für die Bildungsgänge am Abendgymnasium und Kolleg insgesamt dargestellt.

Modellieren
Strukturieren
Die Studierenden

• erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung,
• treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor.

Mathematisieren
Die Studierenden

• übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle,
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells,
• ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zu.

Validieren
Die Studierenden

• beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation,
• beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung,
• verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung,
• reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen.

Problemlösen
Erkunden
Die Studierenden

• recherchieren Informationen,
• greifen auf Erfahrungen aus ihrer Berufswelt zurück, die sie reorganisieren und mit neuen Inhalten verknüpfen,
• erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Probleme,
• finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation,
• analysieren und strukturieren die Problemsituation,
• wählen heuristische Hilfsmittel (z.B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen,
• erkennen Muster und Beziehungen.

Lösen
Die Studierenden

• entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege,
• nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Analogiebetrachtungen, Schätzen und Überschlagen, systematisches Probieren oder Ausschließen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Verallgemeinern),
• setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein,
• wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen,
• wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus,
• berücksichtigen einschränkende Bedingungen,
• führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus.

Reflektieren
Die Studierenden

• überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen,
• interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung,
• vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten,
• beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz,
• analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern,
• variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung.

Argumentieren
Vermuten
Die Studierenden

• stellen Vermutungen auf,
• unterstützen Vermutungen beispielgebunden,
• präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur.

Begründen
Die Studierenden

• stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober- / Unterbegriff),
• nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen,
• verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten,
• nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (direktes Schlussfolgern, Gegenbeispiele, indirekter Beweis),
• berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und-/ Oder-Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen),
• erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise.

Beurteilen
Die Studierenden

• erkennen lückenhafte Argumentationsketten und vervollständigen sie,
• erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie,
• überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können,
• beurteilen Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit.

Kommunizieren
Rezipieren
Die Studierenden

• erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen,
• beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren,
• erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen.

Produzieren
Die Studierenden

• formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege,
• verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang,
• wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus,
• wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen,
• dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar,
• erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie.

Diskutieren
Die Studierenden

• greifen Beiträge auf und entwickeln sie weiter,
• nehmen zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung,
• vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität,
• führen Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbei.

Werkzeuge nutzen
Die Studierenden

• nutzen Formelsammlungen, Geodreiecke, geometrische Modelle, digitale Werkzeuge, verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (grafikfähige Taschenrechner, Tabellenkalkulationen, Funktionenplotter, Dynamische Geometrie-Software und gegebenenfalls Computer-Algebra-Systeme) zum
• Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen,
• zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen,
• Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle,
• grafischen Messen von Steigungen,
• Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle,
• Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse,
• Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals,
• Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen,
• grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden,
• Darstellen von Objekten im Raum,
• Generieren von Zufallszahlen,
• Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standard- abweichung),
• Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
• Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
• Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung),
• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten und (auf erhöhtem Anforderungsniveau) normalverteilten Zufallsgrößen,
• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,
• entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus,
• reflektieren und begründen die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge.

2.3 Kompetenzerwartungen und inhaltliche Schwerpunkte bis zum Ende der Einführungsphase

Der Unterricht soll es den Studierenden ermöglichen, dass sie am Ende der Einführungsphase über die in Abschnitt 2.2 dargestellten prozessbezogenen Kompetenzen und die im Folgenden genannten inhaltsbezogenen Kompetenzen in den inhaltlichen Schwerpunkten, die jeweils zunächst knapp umrissen werden, verfügen. Die Einführungsphase am Weiterbildungskolleg dient aufgrund des durch diskontinuierliche Lernbiografien bedingten heterogenen Leistungsstands insbesondere auch der Vertiefung grundlegender Fähigkeiten und Fertigkeiten. Im Unterschied zu den verbindlich zu erreichenden Kompetenzerwartungen am Ende der Qualifikationsphase haben daher die Kompetenzerwartungen am Ende der Einführungsphase orientierungsstiftenden Charakter.

Dazu ist es erforderlich, dass den Studierenden die Möglichkeit einer Aufarbeitung von erforderlichen Grundlagen gegeben wird. Auf Basis einer Analyse der verfügbaren Kompetenzen erhalten sie Hilfestellungen zur Aufarbeitung von fachlichen Inhalten und erwerben prozessbezogene Kompetenzen im Unterricht der Einführungsphase.

Funktionen und Analysis (A)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten und einfachen quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen,
• beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen,
• wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter,
• interpretieren und bestimmen Parameter von linearen und quadratischen Funktionen im Anwendungszusammenhang,
• beschreiben Eigenschaften eines Funktionsgraphen unter Verwendung der Fachbegriffe (Achsenabschnitte, Steigungs- und Krümmungsverlauf, Extrem- und Wendepunkte),
• verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von innermathematischen Kontexten und Anwendungskontexten,
• berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext,
• erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate,
• deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten,
• deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung,
• leiten Funktionen grafisch ab.

Analytische Geometrie und lineare Algebra (G)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• untersuchen geometrische Sachverhalte mithilfe linearer Funktionen,
• stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,
• beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme,
• wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind,
• deuten eindeutige Lösungen von linearen Gleichungssystemen im Anwendungskontext.

Stochastik (S)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente,
• simulieren Zufallsexperimente,
• verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen,
• beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln,
• modellieren Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfeldertafeln,
• bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten,
• prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente in einfachen Fällen auf stochastische Unabhängigkeit,
• bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten.

2.4 Kompetenzerwartungen und inhaltliche Schwerpunkte bis zum Ende der Qualifikationsphase

Im Rahmen der Qualifikationshase soll der Unterricht den Studierenden ermöglichen, dass sie am Ende der Bildungsgänge am Abendgymnasium und Kolleg über die im Abschnitt 2.2 dargestellten prozessbezogenen Kompetenzen und sämtliche in Abschnitt 2.3 (Einführungsphase) und im Folgenden genannten Kompetenzen in den inhaltlichen Schwerpunkten verfügen.

2.4.1 Grundkurs

Funktionen und Analysis (A)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion),
• begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen,
• bilden die Ableitungen von Funktionen:
  • ganzrationale Funktionen,
  • Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten,
  • natürliche Exponentialfunktion,
• interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang,
• bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben,
• lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel,
• verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten,
• unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich,
• führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese,
• beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung,
• bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung),
• wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an,
• wenden die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen an,
• beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion,
• untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mithilfe funktionaler Ansätze,
• interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe,
• deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext,
• skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion,
• erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
• erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung),
• bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen,
• nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen,
• bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge,
• ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate,
• bestimmen Flächeninhalte mithilfe von bestimmten Integralen.

Analytische Geometrie und lineare Algebra (G)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum,
• erfassen geometrische Objekte in räumlichen kartesischen Koordinatensystem und stellen einfache dreidimensionale Objekte mithilfe digitaler Werkzeuge dar,
• deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren,
• stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar,
• berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten,
• addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität,
• stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar,
• interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext,
• stellen Ebenen in Parameterform dar,
• untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden und zwischen Gerade und Ebene,
• berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext,
• interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen auch in Matrix-Vektor-Schreibweise,
• deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es,
• untersuchen mithilfe von Vektoreigenschaften bzw. dem Skalarprodukt geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung).

Stochastik (S)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben,
• stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch,
• erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen,
• bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung s von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen,
• verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente,
• erklären die Binomialverteilung und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten,
• beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre grafische Darstellung,
• nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen,
• schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel mithilfe der Binomialverteilung aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit,
• beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen,
• verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände).

2.4.2 Leistungskurs

Funktionen und Analysis (A)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion),
• begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen von Ableitungsfunktionen,
• deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen,
• nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten,
• bilden die Ableitungen folgender Funktionen:
  • Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten,
  • ganzrationale Funktionen,
  • natürliche Exponentialfunktion,
  • Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis,
  • natürliche Logarithmusfunktion,
• erkennen Strukturen zusammengesetzter Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) und begründen damit deren wesentliche Eigenschaften,
• wenden die Summen- und Faktorregel sowie die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an,
• interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen,
• bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontextergeben,
• führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese,
• lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel,
• verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten,
• unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich,
• beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung,
• verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen,
• beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begründen die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion,
• nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion,
• verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum,
• interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe,
• deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext,
• skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion,
• erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
• erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion,
• bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen,
• nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion: x→1/x
• ,
• nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen,
• begründen geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Änderungsrate und Integralfunktion,
• bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von gegebenen oder Nachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen,
• ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion,
• bestimmen Flächeninhalte und Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszissenachse entstehen mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen.

Analytische Geometrie und lineare Algebra (G)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum,
• erfassen geometrische Objekte in räumlichen kartesischen Koordinatensystemen und stellen einfache dreidimensionale Objekte mithilfe digitaler Werkzeuge dar,
• deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren,
• stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar,
• addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität,
• stellen Geraden in Parameterform dar,
• interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext,
• stellen Ebenen in Koordinatenform und Parameterform dar,
• stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar,
• untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und zwischen Gerade und Ebene,
• interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen auch in Vektor-Matrix-Schreibweise,
• berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext,
• deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es,
• untersuchen mithilfe von Vektoreigenschaften und des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung),
• stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum,
• bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.

Stochastik (S)

Kompetenzerwartungen: Die Studierenden

• untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben,
• stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch,
• erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen,
• bestimmen den Erwartungswert µ und die Standardabweichung s von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen,
• verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente,
• erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten,
• beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre grafische Darstellung,
• nutzen die s-Regeln für prognostische Aussagen,
• nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen,
• interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse,
• beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art,
• unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen und deuten die Verteilungsfunktion als Integralfunktion,
• untersuchen stochastische Situationen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen,
• beschreiben den Einfluss der Parameter µ und s auf die Normalverteilung und die grafische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gauß’sche Glockenkurve),
• beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen,
• verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände).